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Gran Tetraedro de Sierpinski

Construyamos un objeto fractal

En la imagen puedes ver la cuatro primeras iteraciones del Tetraedro de Sierpinski

En la imagen puedes ver la cuatro primeras iteraciones del Tetraedro de Sierpinski

El Tetraedro de Sierpinski, es una generalización tridimensional del conocido triángulo Sierpinski.

Su construcción matemática se realiza partiendo de un tetraedro. Sobre cada una de sus caras, marcamos los puntos medios de las aristas. Al unirlas, aparece un octaedro, el cual eliminamos. De esta forma obtenemos un objeto formado con cuatro tetraedros que sería la 1ª iteración. Para obtener la 2ª iteración realizariamos el mismo proceso a cada uno de los cuatro tetraedros obteniendo un nuevo objeto. Para las siguientes iteraciones se repetiría el proceso. En la imagen puedes ver la cuatro primeras iteraciones.

Como casi todos los fractales este objeto fractal tiene propiedades geométricas tan interesantes como extrañas.

En primer lugar el proceso de construcción es muy sencillo y se obtienen objetos cada vez más intrincados de belleza singular.

Además, si te fijas en la forma de construirlo, podrás comprobar que el área del tetraedro original es la misma que las figuras que resultan en cada iteración, pues las caras que se pierden en los tetraedros centrales, se ven compensadas por las caras interiores que van apareciendo.

Para rematar si ahora estudiamos el volumen en cada iteración nos daremos cuenta que el volumen cada vez se va haciendo más pequeño y tiende a cero, es un bonito ejercicio demostrarlo.

El departamento de Matemáticas os propone para la última semana de clase antes de las vacaciones de Navidad realizar una bonita construcción con forma de árbol de Navidad con todos los tetraedros que podamos realizar.

Así que os pedimos a todos que os descarguéis el pdf adjunto, decoréis las caras con motivos alegres, construyáis la 1ª iteración (para las uniones de los cuatro tetraedros estamos recomendando cinta celo transparente y que quede lo más disimulada posible) podeis entregarla vuestro profesor de matemáticas o acercaros por el departamento a dejarla.

Con todo lo recogido el próximo lunes 18 construiremos nuestro Tetraedro de Sierpinski en el Hall del instituto.